Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - podstawowe pojęcia
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu \( n \) nazywamy równanie postaci
gdzie \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją \( \hskip 0.3pcy: I\rightarrow \mathbb{R},\hskip 0.3pc \) a dane funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc a_{i}(t),\hskip 0.3pc i=0,\ldots, n\hskip 0.3pc \) są ciągłe i określone w przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) o wartościach rzeczywistych. Przez przedział \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) rozumiemy jeden z następujących zbiorów: \( \hskip 0.3pc(a,b),\hskip 0.3pc(-\infty,a), \) \( \hskip 0.3pc (a,+\infty ) \hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc \mathbb{R} \).
Uwaga 1:
Definicja 2: Rozwiązania
Definicja 3: Problemu początkowego
Zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania ( 1 ), które dla ustalonego \( \hskip 0.3pc t_{0}\in I\hskip 0.3pc \) spełnia \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-równości:
gdzie \( \hskip 0.3pc b_0,\ldots ,b_{n-1}\hskip 0.3pc \) są danymi stałymi, będziemy nazywać problemem początkowym.
Przykład 1:
Pokażemy, że funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)=\sin(2t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu początkowego postaci
Rozwiązanie: \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(t)=2\cos(2t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=-4\sin(2t),\hskip 0.3pc \) więc \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)+4y(t)=-4\sin(2t)+4\sin(2t)=0,\hskip 0.3pc \) czyli funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania.
Ponadto \( \hskip 0.3pc y(0)=\sin(0)=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(0)=2\cos(0)=2\hskip 0.3pc \), zatem funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) spełnia waruneki początkowe.
Przykład 2:
Pokażemy, że funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)=ct^2+t+1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem następującego problemu początkowego
w przedziale \( \hskip 0.3pc (-\infty, \infty),\hskip 0.3pc \) dla dowolnego parametru \( \hskip 0.3pc c \).
Rozwiązanie: \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(t)=2ct+1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=2c\hskip 0.3pc \) zatem
Ponadto \( \hskip 0.3pc y(0)=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(0)=1\hskip 0.3pc \), co kończy dowód, że \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu początkowego.
ZAŁOŻENIA:
Niech funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\ldots ,y_k(t)\hskip 0.3pc \) będą rozwiązanimi równania jednorodnego
TEZA:
Wtedy dowolna liniowa kombinacja tych funkcji
są dowolnymi stałymi, jest również rozwiązaniem równania ( 3 )
DOWÓD:
Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy \( \hskip 0.3pc k=n=2\hskip 0.3pc \), (dla dowolnego \( k,n\in \mathbb{N} \) dowód jest analogiczny).Niech \( \hskip 0.3pc y_1(t), y_2(t)\hskip 0.3pc \) będą rozwiązaniami równania
Definiujemy \( \hskip 0.3pc y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\;c_2\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe, wtedy
Podstawiając teraz \( \hskip 0.3pc y(t),\hskip 0.3pc y^{\prime}(t),\hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)\hskip 0.3pc \) do równania ( 4 ) otrzymujemy
Zatem \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 4 ).
Przykład 3:
Funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)=e^{-t}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)=e^{-3t}\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0. \)
Zatem na mocy twierdzenia 1, funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-3t},\hskip 0.3pc \) gdzie \( c_1,\hskip 0.3pc c_2 \)- są to dowolne stałe, jest też rozwiązaniem tego równania.
Twierdzenie 2: O istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy'ego
ZAŁOŻENIA:
Niech funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc a_{k}(t),\hskip 0.5pc {\rm gdzie} \hskip 0.3pc k=0,\ldots ,n,\hskip 0.3pc \) będą ciągłe i określone w przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}\hskip 0.3pc , \) ponadto \( a_n(t) \neq 0, \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I. \)TEZA:
Wtedy problem początkowy
Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych.